内容简介

本书系统地阐述了微积分在人工智能领域的核心作用，从基础理论到实际应用，内容丰富且深入。全书共13章，涵盖微积分概述、函数与极限、导数与微分、积分及其应用、多元微积分等基础知识，同时深入探讨了数据预处理、构建网络模型、模型优化、模型评估与解释等核心技术，并延伸至自然语言处理、计算机视觉、推荐系统和强化学习等前沿应用场景。通过理论讲解、模型分析和代码实践，深入剖析微积分在算法建模、性能优化和结果解释中的关键作用。

本书配有丰富的案例分析、课后练习及可视化示例，适合人工智能从业者、研究人员及相关领域学生学习和参考，为迈向更高水平的AI研究与开发奠定坚实基础。

目录

目 录

第1章
微积分概述

1．1 微积分的历史背景与发展 002

1．1．1 微积分的起源 002

1．1．2 经典数学家的贡献 003

1．1．3 微积分在现代科学中的应用 006

1．2 微积分的基本概念 010

1．2．1 函数与极限的基本定义 011

1．2．2 导数与微分的基本思想 011

1．2．3 积分与面积的基本概念 011

1．3 微积分的核心理论 011

1．3．1 牛顿-莱布尼茨公式 012

1．3．2 连续性与可导性的概念 012

1．3．3 无穷小与无穷大的应用 012

1．4 微积分在科学与工程中的应用 012

1．4．1 微积分在物理学中的应用 013

1．4．2 微积分在工程学中的应用 013

1．4．3 微积分在计算科学中的应用 013

1．5 微积分在人工智能中的重要性 013

1．5．1 微积分在机器学习中的作用 014

1．5．2 微积分在深度学习中的应用 014

1．5．3 微积分在优化算法中的关键性 014

1．6 课后练习 014

第2章
函数与极限

2．1 函数的基本概念 017

2．1．1 函数的定义与分类 017

2．1．2 常见的函数类型 017

2．1．3 绘制不同类型的函数图像 018

2．2 函数的性质 021

2．2．1 函数的单调性与凹凸性 021

2．2．2 极值、驻点与拐点分析 021

2．2．3 查找函数的极值和拐点并绘制图像 022

2．3 极限的概念 025

2．3．1 极限的定义与基本性质 025

2．3．2 左极限、右极限与无穷极限 027

2．3．3 无穷小与无穷大的比较与应用 029

2．4 极限的求解方法 032

2．4．1 代入法与因式分解法 032

2．4．2 分母有理化与洛必达法则 033

2．4．3 利用 SymPy 求解函数的极限并验证结果 034

2．5 连续性与可导性 034

2．5．1 函数的连续性与间断点 034

2．5．2 可导函数的条件、性质与应用 035

2．5．3 用Python分析函数的连续性与
可导性 036

2．6 课后练习 037

第3章
导数与微分

3．1 导数的基本概念 039

3．1．1 导数的定义与几何意义 039

3．1．2 导数的物理意义与在速度、加速度中的应用 039

3．1．3 Python 实例：利用 SymPy 计算函数的导数并绘制切线与速度图 040

3．2 导数的计算规则 042

3．2．1 和差、乘积与商的求导法则 042

3．2．2 链式法则与隐函数求导法 043

3．2．3 Python 实例：使用 SymPy 实现复杂函数的求导并分析 043

3．3 常见函数的导数 045

3．3．1 多项式函数的导数 045

3．3．2 指数与对数函数的导数 046

3．3．3 三角函数与反三角函数的导数 046

3．3．4 Python 实例：绘制常见函数的导数
图像并分析其变化趋势 047

3．4 高阶导数 052

3．4．1 高阶导数的定义与应用 052

3．4．2 函数的凹凸性、拐点与泰勒级数展开 052

3．4．3 Python 实例：利用高阶导数与泰勒
级数分析函数行为 053

3．5 微分的概念 055

3．5．1 微分的定义、几何意义与线性近似 056

3．5．2 微分在误差估计与近似计算中的应用 056

3．5．3 Python 实例：使用微分法近似计算
函数值与误差分析 057

3．6 课后练习 059

第4章
积分及其应用

4．1 积分的基本概念 061

4．1．1 不定积分的定义与性质 061

4．1．2 积分的几何意义与物理意义 061

4．1．3 利用 SymPy 计算简单函数的
不定积分 062

4．2 定积分 062

4．2．1 定积分的定义与基本性质 062

4．2．2 定积分的计算方法 063

4．2．3 使用 SciPy 计算定积分并进行数值验证 064

4．3 积分与面积、体积 065

4．3．1 积分在求平面图形面积中的应用 065

4．3．2 积分在求旋转体体积中的应用 065

4．3．3 Python 实例：计算复杂图形的面积与体积并进行可视化 066

4．4 积分与概率与统计 069

4．4．1 概率密度函数与积分的关系 069

4．4．2 积分在期望、方差与协方差计算中的应用 070

4．4．3 利用积分求解连续型随机变量的期望与方差 070

4．5 微积分基本定理 072

4．5．1 牛顿-莱布尼茨公式 072

4．5．2 微积分基本定理的推导与应用 0

前言/序言

随着人工智能（AI）的迅猛发展，微积分作为其核心基础理论之一，正发挥着不可或缺的关键作用。从自动驾驶汽车的路径规划到语音助手的语音识别，从推荐系统的精准推送到强化学习的智能决策，无论是算法设计、模型优化还是性能评估，微积分的概念与方法贯穿始终。

微积分是现代数学的基石，它为人工智能提供了强大的数学工具，用于描述和分析复杂系统的动态变化、优化目标函数以及处理多维数据。导数与微分帮助我们理解函数的变化率和局部行为，是优化算法（如梯度下降法）的核心；积分则用于计算面积、体积和概率，是处理连续数据和累积效应的基础。在人工智能的应用场景中，微积分不仅在传统的机器学习和深度学习中占据核心地位，还广泛融入自然语言处理、计算机视觉、推荐系统和强化学习等多个前沿领域，帮助研究者应对复杂的优化问题和多维数据的挑战。

本书旨在系统化地梳理和讲解微积分在人工智能中的应用，搭建从基础理论到实际应用的桥梁。全书结合经典案例和代码实践，不仅帮助读者深入理解微积分的理论内涵，还展示了如何在真实AI场景中运用这些工具进行建模、优化和决策。通过丰富的案例分析、课后练习和可视化示例，读者能够掌握微积分在人工智能中的关键应用，并为进一步探索AI领域的高级主题奠定坚实的数学基础。

 本书的特色

全面系统的内容覆盖：本书系统梳理了微积分在人工智能中的核心知识，从基础概念（如函数、极限、导数）到高级应用（如多元微积分、数值积分、优化算法），涵盖数据预处理、网络模型构建、模型优化、自然语言处理、计算机视觉、推荐系统和强化学习等多个领域，内容全面且层次分明。

  * 理论与实践并重：本书注重将微积分理论与人工智能实际应用相结合，通过详细的数学推导和具体的案例分析，帮助读者理解理论背后的逻辑，同时展示如何将理论应用于算法建模、性能优化和结果解释中。

  * 丰富的代码示例：每章都配备了基于Python的代码实例，结合常用的人工智能和数学工具（如NumPy、SciPy、SymPy等），让读者能够快速动手实践，将理论知识内化为实际技能。

  * 专注AI领域应用：本书紧扣人工智能发展热点，重点讲解微积分在深度学习、优化算法、数据预处理、自然语言处理、计算机视觉、推荐系统和强化学习等领域的应用，帮助读者理解这些技术背后的数学原理。

  * 循序渐进的学习路径：本书按照知识难度由浅入深编排章节，逐步引导读者从理解基础概念到掌握高级应用，适合初学者入门，也适合进阶学习者夯实理论基础。

  * 课后练习与项目驱动：每章配备针对性的课后练习题，通过编程实践和开放性问题激发读者思考，锻炼动手能力，并通过真实案例巩固所学内容。

  * 面向多元读者需求：无论是人工智能领域的研究人员、数据科学家、工程师，还是对AI基础知识感兴趣的学生或爱好者，都能从本书中找到适合自己的学习内容与实践指导。

 本书的读者对象

  * 人工智能初学者：对人工智能感兴趣，希望夯实微积分基础，系统学习理论与应用的读者。

  * 高校师生与研究人员：从事人工智能、数据科学及相关领域研究，寻求系统学习微积分在AI中应用的学术人员。

  * 数据科学与工程从业者：希望提升数据分析能力，了解微积分如何优化模型性能的技术人员。

  * 跨领域学习者：拥有其他学科背景，欲转向人工智能领域或结合现有领域拓展概率与统计知识的学习者。

  * 人工智能爱好者：热衷学习AI理论，关注概率与统计在NLP、计算机视觉等应用中的爱好者。

 致谢

首先要向所有支持与鼓励我完成这本书的朋友和家人致以最诚挚的感谢。他们的理解、支持与关爱为我提供了无穷的动力。其次要特别感谢我的导师和同事们，他们在学术研究和工作中为我提供了宝贵的指导和建议，启发了我对人工智能与概率统计深刻而系统的思考。最后，本书在编写过程中，得到了北京大学出版社各位专业编辑们的大力支持，正是各位专业出版人士们的求实、耐心和效率，才使得本书能够在这么短的时间内出版。最后申明，本人水平和精力毕竟有限，书中存在纰漏之处在所难免，诚请读者提出宝贵的意见或建议，以便修订并使之更臻完善。

最后感谢您购买本书，希望本书能成为您编程路上的领航者，祝您阅读快乐！