内容简介
《贝叶斯压缩水下阵列信号处理》以水下阵列信号高分辨处理方法为主题，从披束形成模型、求解方法和性能分析等方面系统地介绍了近年来贝叶斯压缩感知技术在水声阵列信号处理中的应用.《贝叶斯压缩水下阵列信号处理》共7章，包括矩阵和贝叶斯理论基础、阵列信号处理基础、压缩波束形成、贝叶斯压缩披束形成基础、贝叶斯压缩波束形成快速实现、贝叶斯压缩波束形成与稀疏表示以及动态系统求解与非法代贝叶斯压缩披束形成。
目录
目录
丛书序
自序
第1章 矩阵和贝叶斯理论基础 1
1.1 标量、矢量与矩阵计算法则 1
1.1.1 定义 1
1.1.2 矩阵微分 2
1.2 矢量和矩阵的范数 6
1.2.1 矢量的范数 6
1.2.2 矩阵的范数 8
1.3 贝叶斯方法 10
1.3.1 复高斯分布 10
1.3.2 贝叶斯定理应用 13
1.3.3 *大似然估计 15
1.3.4 *大后验估计 17
1.3.5 共轭先验 20
参考文献 24
第2章 阵列信号处理基础 25
2.1 声波辐射与阵列信号模型 25
2.1.1 声传播与平面波 25
2.1.2 点源辐射与格林方程 29
2.1.3 阵列信号模型 31
2.2 阵列波束形成 35
2.2.1 线性方程求解与波束形成 35
2.2.2 均匀线性阵列 38
2.2.3 克拉默-拉奥界讨论 41
2.3 谱估计波束形成 45
2.3.1 参数型谱估计 46
2.3.2 非参数型谱估计 47
2.3.3 半参数型谱估计 49
2.3.4 性能验证 55
参考文献 60
第3章 压缩波束形成 62
3.1 问题与收敛性 62
3.1.1 Gram矩阵与互相干性能讨论 65
3.1.2 *小线性相关列数与信号源估计性能讨论 67
3.1.3 优化问题 68
3.2 正交匹配追踪 71
3.3 p松弛方法 73
3.4 压缩波束形成的多快拍扩展 78
3.5 性能验证 85
3.5.1 信号源重构实验 85
3.5.2 信号功率估计性能验证 88
参考文献 90
第4章 贝叶斯压缩波束形成基础 93
4.1 **类与第二类贝叶斯方法 93
4.2 参数学习方法 101
4.2.1 期望*大法 101
4.2.2 变分法 107
4.2.3 证据*大法 117
4.3 全局与局部*小条件 121
4.4 先验分布分析 128
4.5 多快拍波束形成 133
4.6 性能验证 137
4.6.1 多快拍信号重构实验 138
4.6.2 多快拍信号估计性能验证 142
参考文献 145
第5章 贝叶斯压缩波束形成快速实现 147
5.1 稀疏增减法 147
5.2 空间交替法 155
5.3 松弛ELBO*大化 162
5.4 可扩展平均场 174
参考文献 182
第6章 贝叶斯压缩波束形成与稀疏表示 184
6.1 TV稀疏表示方法 185
6.2 综合法与分析法等效性讨论 188
6.3 分析法 192
6.4 性能验证 199
参考文献 217
第7章 动态系统求解与非迭代贝叶斯压缩波束形成 219
7.1 动态系统求解 219
7.2 卡尔曼-贝叶斯压缩波束形成原理 234
7.3 在线算法实现 237
7.4 收敛性分析 242
7.5 性能验证 251
参考文献 258
试读
第1章 矩阵和贝叶斯理论基础
在水下成像和目标波达角度（direction of arrival，DOA）估计中，涉及线性模型或方程的求解，因此相关理论必然用到线性代数、矩阵运算等数学基础；信息采集系统具有不确定性，同时水下环境存在混响、噪声、声速*线弯*和多径干扰等标准声信号传播模型难以兼顾的因素，形成扰动导致求解偏差。另外，线性回归模型的解常常存在不唯一性，估计方法必须以某种准则为前提，以降低模型对扰动的敏感性，继而提高稳定性。*后，为了应用相关准则或引入先验信息，需要以贝叶斯理论为工具寻求求解思路。本章介绍本书将用到的矩阵运算、范数空间和贝叶斯理论相关数学基础，方便后续章节的理论阐述。
1.1 标量、矢量与矩阵计算法则
1.1.1 定义
定义1.1 令复标量 ，其中 表示M维复空间，则序列
（1.1）
定义为M维复矢量或复向量。其中，上角标T表示转置。需要强调，在本书中，矢量均指列矢量，表示行矢量时以矢量转置形式表达。
定义1.2 复数矩阵 表示为
（1.2）
其中， 为矩阵A中第i行、第j列位置的元素， ， 。可见，矩阵可以用N个M维矢量表示，并以aj指代矩阵A中第j列矢量。
注意，在本书中，以小写斜体字母指代标量，如a、b、x；以小写斜体加粗字母指代矢量或向量，如a、x；以大写斜体加粗字母指代矩阵，如A。在矩阵符号算子的规定上，上角标H表示共轭转置，因此对于实数矩阵 ，AT = AH；矩阵A的行列式表示为det(A)或|A|；对于可逆阵，以A1表示矩阵A的逆矩阵，以A表示矩阵A的伪逆矩阵；矩阵的秩表示为rank(A)。
在贝叶斯推理中，常用到与矩阵求逆相关的两个广泛使用的重要结论，这里不加证明地给出。
引理1.1（矩阵求逆引理） 存在如下等式：
（1.3）
其中，矩阵 和 为可逆阵，矩阵 ， 。
命题1.1（矩阵分块求逆法） 设矩阵 为N阶非奇异方阵，而且A的分块矩阵
（1.4）
中A11和A22分别为N1和N2阶非奇异阵，N = N1 + N2。则
（1.5）
此外，在以矩阵为基础的概率密度分布函数中，常常需要用到矩阵的迹，以tr(A)来表示矩阵A的迹。与之相关的性质包括
（1.6）
（1.7）
还常通过下述性质化简1-秩矩阵的迹为标量表达，即
（1.8）
其中，x和y均为N维矢量。
1.1.2 矩阵微分
在数学中，矩阵微分定义在特定的矩阵空间上，通过计算单个函数对多个变量的偏导数，或多元函数对单个变量的偏导数，其中往往将矢量或矩阵视为单个实体以简化运算。在随机过程中，矩阵微分法是计算*优估计量的**技能，尤其是高维度信号。典型的应用包括卡尔曼滤波、维纳滤波、期望*大化（expectation maximization，EM）算法等。
本节的内容包括实数域和复数域两部分。*先在实数域中，考虑一种基本情况，假设矢量 可以写成矢量 的函数，即
（1.9）
则y相对于x的一阶导数可以写成
（1.10）
该矩阵又称为函数或变换f的雅可比矩阵。注意到，两个矢量之间的导数为矩阵，当自变量x退化为标量时，输出导数为矢量；当因变量y退化为标量时，输出导数为行矢量。
以此为依据，容易给出一些常用的公式列表，如表1.1所示。
表1.1 常用公式1
表1.1中，多数等式可以根据式（1.10）直接证明，这里仅以下述等式为例给出证明过程。输出为标量的二次式为
（1.11）
写成展开式表达为
（1.12）
取对第k个元素xk的导数， ，得到
（1.13）
结果为
（1.14）
得证。
除了表1.1中所列项目之外，尚有一些有用的结论结合表1.1能够灵活处理我们遇到的矩阵求导问题。
结论1.1 假设矩阵A与矢量x和z均无关，有
（1.15）
（1）在矢量空间中也可以等效于矢量y和x的内积，若y和x均与矢量z有关，则
（1.16）
（2）通过式（1.11）来定义标量，其中x为矢量z的函数，A与z无关，则
（1.17）
类似地，以式（1.10）为基础，可以将矢量-矢量导数扩展到矩阵-标量的导数，写成
（1.18）
以此为基础，我们给出矩阵的逆矩阵-标量的求导公式如下：
（1.19）
对式（1.19）给出简单证明。可逆方阵A满足A1A = I，其中I为单位阵，在等式两侧分别对求导得到
（1.20）
整理得到式（1.19），得证。
下面考虑标量-矩阵求导方法。设f为矩阵X的标量函数，根据式（1.18）需要f对X逐元素求导并排列成与X尺寸相同的矩阵，称为定义法求导。显然，定义法求导的复杂性更高，实际应用中并不实用，而且没有用到求导的
