内容简介

   本书系统地介绍了数学思想与方法的基础理论和方法，以及其在数学学科内部和工程技术领域的应用实例，是数学课程内容的进一步深化和实用化，全书共分为11章，分别为第1章 认识数学、第2章 古今数学思想方法、第3章 抽象与概括、第4章 观察、实验与归纳、第5章 类比与联想、第6章 演绎法、第7章 化归法、第8章 分析法与综合法、第9章 一般化与特殊化、第10章 数学建模法、第11章 数值计算与算法。

   其中，第1-2章解决认识问题并讲述基本的数学思想方法；第3-5章是数学发现的思想方法；第6-9章是数学论证的思想方法；第10-11章是数学应用的思想方法。

   各章有理论部分和例题、应用实例、思考题。

   本书可作为高校本科生或研究生的教材，也可供科技人员或对数学思想方法有兴趣的读者参考。

目录

第1章对数学的认识

1.1数学简史

1.1.1数学的起源

1.1.2数学的发展动力

1.1.3数学史的发展阶段、分期和高峰

1.1.4两种不同的数学

1.2数学的研究对象

1.2.1古代数学的研究对象

1.2.2近代数学的研究对象

1.2.3现代数学的研究对象

1.3数学的内容和分支

1.3.1中图分类法中数学学科的分类

1.3.2中国学科目录中数学的学科划分

1.3.3纯粹数学和应用数学的分支

1.4数学的突出特性

1.4.1高度的抽象性

1.4.2严密的逻辑性

1.4.3应用的广泛性

1.4.4数学结论的确定性

1.4.5数学现象和结论的反直觉性

1.4.6数学呈现方式的形式化

1.5数学思想方法概论

1.5.1数学思想与数学方法

1.5.2数学思想方法的内容

1.5.3数学思想方法的作用

1.6数学思想方法的哲学依据

1.6.1逻辑学基础知识

1.6.2数理逻辑简介

1.6.3命题逻辑的基本概念

1.6.4谓词逻辑的基本概念

1.6.5逻辑思维的基本规律

1.7数学的地位和作用

1.7.1数学在科学中的地位

1.7.2数学的重大作用

1.7.3数学的精神价值

问题研究

第2章古代数学成就及其思想方法

2.1记数制

2.2算术

2.2.1算术及其思想方法

2.2.2古埃及的算术

2.2.3古巴比伦的算术

2.3代数

2.3.1代数及其思想方法

2.3.2古埃及的代数

2.3.3古巴比伦的代数

2.4几何

2.4.1古埃及的几何

2.4.2古巴比伦的几何

2.5古希腊的数学

2.5.1古希腊数学概述

2.5.2《几何原本》简介

2.5.3《几何原本》的数学思想方法

2.6中国的数学

2.6.1中国古代数学概述

2.6.2《九章算术》简介

2.6.3《九章算术》的数学思想方法

2.7印度和阿拉伯的数学

2.7.1印度的数学

2.7.2阿拉伯的数学

问题研究

第3章近代数学成就及其思想方法

3.1解析几何

3.1.1解析几何的创立

3.1.2解析几何创立的重大意义

3.1.3解析几何的思想方法

3.2微积分

3.2.1微积分的创立

3.2.2微积分概要

3.2.3微积分创立的重大意义

3.2.4微积分的思想方法

3.3分析学的严密化

3.3.1无穷小悖论

3.3.2分析学严密化运动

3.3.3分析学严密化的思想方法

3.4非欧几何

3.4.1第五公设难题

3.4.2非欧几何的创立

3.4.3非欧几何的数学思想

3.5群论

3.5.1高次代数方程求解难题

3.5.2阿贝尔的贡献及其数学思想

3.5.3伽罗瓦群论及其数学思想

3.6欧氏几何的公理化重建

3.6.1欧氏几何的重建

3.6.2公理化方法成为重要数学思想方法

3.6.3不完备性定理

3.7概率论

3.7.1概率论的创立

3.7.2概率论的思想方法

问题研究

第4章现代数学基础及其思想方法

4.1集合论

4.1.1集合论简介

4.1.2对无穷集合的早期探索

4.1.3康托尔集合论及其思想方法

4.1.4公理化集合论及其思想方法

4.2结构主义

4.2.1代数结构

4.2.2序结构

4.2.3拓扑结构

4.2.4结构主义的数学思想

4.3抽象代数

4.3.1抽象代数简介

4.3.2抽象代数的创立和发展

4.3.3抽象代数的思想方法

4.4泛函分析

4.4.1泛函分析简介

4.4.2泛函分析的创立与发展

4.4.3泛函分析的思想方法

4.5拓扑学

4.5.1拓扑学简介

4.5.2拓扑学的创立和发展

4.5.3拓扑学的思想方法

问题研究

第5章数学发现与数学解题的思想方法

5.1抽象法与概括法

5.1.1抽象法

5.1.2概括法

5.1.3抽象与概括的协同应用

5.2数学观察法与数学实验法

5.2.1数学观察法

5.2.2数学实验法

5.3归纳法

5.3.1归纳推理

5.3.2归纳法的类型

5.3.3归纳猜想

5.4类比法与联想法

5.4.1类比法

5.4.2类比猜想

5.4.3联想法

5.5化归法

5.5.1化归的原理

5.5.2化归的原则

5.5.3化归的途径

问题研究

第6章数学证明的思想方法

6.1演绎法

6.1.1推理与证明

6.1.2三段论推理

6.1.3数学归纳法

6.1.4强归纳法

6.1.5反例证明法

6.1.6分析演绎法与综合演绎法

6.2构造法

6.2.1构造法

前言/序言

数学思想方法，顾名思义，是数学的指导思想和普遍适用的方法。指导思想属于世界观范畴，普遍适用的方法属于方法论范畴，哲学既是世界观又是方法论，因而数学思想方法可以理解为数学的哲学，是数学的精华，是数学的一般规律，可以指导具体的数学发现、数学解题、数学证明、数学应用、数学研究。

纵观数学发展史，数学的发展存在两条主线，一条是数学知识的积累，另一条是数学思想方法的确立，二者存在密切联系。数学发展的历史已经证实： 一个人若想在数学上有所作为，不论是从事数学科研、数学教育教学，还是从事数学应用，仅掌握数学知识是不够的，还必须同时掌握数学思想方法。古人云： “授之以鱼，不如授之以渔”。如果把数学知识比作“鱼”，那么数学思想方法就是“渔”，可见其重要性！

我国高校普遍开设的数学课程有高等数学、线性代数、概率论与数理统计，对理工科专业一般还开设一些数学选修课，如复变函数、离散数学、组合数学、线性规划与组合优化、数值计算方法、矩阵分析等，所涉及的数学内容丰富多样，怎样把这些数学内容整合起来以提升综合数学能力？一个重要的方法就是提炼数学思想方法，用数学思想方法把数学知识串起来，达到融会贯通的境界，这也有助于将数学应用于解决实际问题。因此，数学思想方法的学习和运用对高校大学生而言十分重要。此外，科学技术是第一生产力，而数学是一切科学技术的基础，同时，由于数学的深刻性和超前性，数学也发挥着引领科技的作用，因此数学思想方法的掌握和运用对科学研究人员、工程技术人员也非常重要。

本书作者多年来在中山大学为本科生讲授数学思想方法课程，该课程是面向各专业本科生开设的公共选修课程(通识教育课程)。本书是在多年使用的讲义基础上修订完善而来的。

全书共8章。

第1章，探索和讨论“什么是数学”，同时介绍数学思想方法的概念、内容和作用，并对数学思想方法的哲学依据——逻辑学的相关基础知识进行简要介绍。

第2章，介绍古代数学成就及其思想方法。人类数学文化的源头在古埃及和古巴比伦，这两个文明古国历史最悠久，数学的发展也最早，因此对其数学进行介绍并分析其思想方法。古希腊数学崇尚逻辑推理和证明，《几何原本》是古希腊数学的代表性成就。中国古代的《九章算术》则是另一种注重计算和实际应用的数学，这两本著作对世界数学的发展影响巨大。本章详细介绍和讨论这两本著作的主要内容和思想方法。印度和阿拉伯是古希腊数学在东方的继承者和传播者，本章最后对其数学成就及思想方法进行介绍。

第3章，介绍近代数学成就及其思想方法。从17世纪初到19世纪末近300年的时间属于数学史的近代期，这一时期数学发展迅速，实现了由常量数学到变量数学的转变。本章列举近代数学的若干重大成就，并分析其思想方法。

第4章，介绍现代数学及其思想方法。现代数学以德国数学家康托尔在19世纪末创立集合论为起点。集合论的思想和概念渗透到大部分数学分支，成为现代数学的通用语言和严格的公共基础。20世纪上半叶，法国布尔巴基学派提出结构主义，认为数学研究的核心是结构，其成果很有启发性，促进了人类数学思想的进步。19世纪末以来，代数、分析、几何三大数学分支都各有突破，抽象代数、泛函分析、拓扑学相继创立并迅速发展，体现了数学的深刻变化，被称为现代数学的三大支柱。本章介绍这些内容并分析其思想方法。

第5章，介绍数学发现与数学解题的思想方法。数学发现与数学解题涉及建立数学概念、提出数学方法。本章介绍抽象法与概括法、数学观察法与数学实验法、归纳法、类比法与联想法、化归法。

第6章，介绍数学证明的思想方法，包括演绎法、构造法和其他思想方法。

第7章，介绍几种典型的数学应用方法，包括数学建模、数值计算方法、概率论与数理统计，并分析其思想方法。

第8章，介绍其他数学思想方法，包括分析法与综合法、一般化与特殊化。

本书注重数学思想方法阐述、推导和讨论的严谨性，同时也注重数学思想方法与实践的结合，每章均设有大量例题，章末的“问题研究”也颇具难度，需要进行资料查阅和深入思考才能完成。

本书参考和引用了许多出版物的论点和资料，除了书末列出的参考文献外，恕不一一列举，借此机会，向有关作者表示衷心的感谢。

国防科技大学张新建教授、中山大学黄海风教授、黄小红副教授审阅了书稿并提出许多有益的修改意见，在此向他们表示衷心的感谢。