内容简介
目 录
译者序
前言
应用模块
第 1 章 一阶微分方程 1
1.1 微分方程与数学模型 1
习题 9
1.2 作为通解和特解的积分 11
习题 17
1.3 斜率场和解曲线 20
习题 28
应用 计算机生成的斜率场和解
曲线 32
1.4 可分离变量方程及其应用 34
习题 46
应用 logistic 方程 51
1.5 一阶线性微分方程 52
习题 61
应用 室内温度振荡 64
1.6 替换法和恰当方程 66
习题 81
应用 计算机代数求解法 83
第 1 章 总结 85
第 1 章 复习题 86
第 2 章 数学模型与数值方法 87
2.1 种群模型 87
习题 95
应用 种群数据的 logistic 建模 99
2.2 平衡解与稳定性 101
习题 108
2.3 加速度–速度模型 111
习题 118
应用 火箭推进 121
2.4 数值近似：Euler 法 124
习题 133
应用 Euler 法的实现 135
2.5 对 Euler 法的深入研究 137
习题 144
应用 改进的 Euler 法的实现 145
2.6 Runge–Kutta 法 148
习题 155
应用 Runge–Kutta 法的实现 157
第 3 章 高阶线性方程 160
3.1 二阶线性方程简介 160
习题 171
应用 绘制二阶解曲线族 173
3.2 线性方程的通解 175
习题 184
应用 绘制三阶解曲线族 187
3.3 常系数齐次方程 188
习题 197
应用 线性方程的近似解法 198
3.4 机械振动 199
XII
习题 209
3.5 非齐次方程与待定系数法 212
习题 224
应用 常数变易法的自动实现 225
3.6 受迫振动与共振 226
习题 236
应用 受迫振动 238
3.7 电路 240
习题 246
3.8 端点问题与特征值 248
习题 260
第 4 章 微分方程组简介 262
4.1 一阶方程组及其应用 262
习题 271
应用 万有引力与开普勒行星
运动定律 273
4.2 消元法 275
习题 282
应用 方程组的计算机代数解法285
4.3 方程组的数值解法 286
习题 296
应用 彗星与航天器 298
第 5 章 线性微分方程组 302
5.1 矩阵与线性方程组 302
习题 319
应用 线性方程组的自动求解 321
5.2 齐次方程组的特征值法 322
习题 335
应用 特征值和特征向量的自动
计算 337
5.3 线性方程组的解曲线图集 338
习题 362
应用 动态相平面图形 365
5.4 二阶方程组及其机械应用 368
习题 378
应用 由地震引发的多层建筑的
振动 381
5.5 多重特征值解 383
习题 397
应用 有缺陷特征值与广义特征
向量 399
5.6 矩阵指数与线性方程组 401
习题 412
应用 矩阵指数解的自动计算 414
5.7 非齐次线性方程组 416
习题 424
应用 常数变易法的自动实现 425
第 6 章 非线性系统与现象 427
6.1 稳定性与相平面 427
习题 437
应用 相轨线图与一阶方程 438
6.2 线性及准线性方程组 440
习题 448
应用 准线性方程组的相轨线图451
6.3 生态模型：捕食者与竞争者 453
习题 463
应用 你自己的野生动物保护区.467
6.4 非线性机械系统 468
习题 480
应用 Rayleigh 方程、van der Pol方
程和 FitzHugh-Nagumo 方程，
SIR 模型和 COVID-19 482
6.5 动力系统中的混沌 493
XIII
第 7 章 Laplace 变换法 507
7.1 Laplace 变换与逆变换 507
习题 516
应用 计算机代数变换与逆变换517
7.2 初值问题的变换 518
习题 529
应用 初值问题的变换 530
7.3 变换与部分分式 531
习题 539
应用 阻尼与共振研究 540
7.4 变换的导数、积分和乘积 542
习题 549
精彩书评
前言
这是一本理工科学生标准微分方程入门课程的教材。本书的内容反映了 Maple、
Mathematica 和 MATLAB 等技术计算环境的广泛可得性，这些环境现在已被工程师
和科学家广泛使用。在传统手动和符号方法的基础上，还增加了定性和基于计算机的方
法，这些方法采用数值计算和图形可视化，以加深学生对概念的理解。这种更全面的方
法的一个好处是，学生可以接触到更广泛、更实际的微分方程应用。
主要特点
第 6 版是一个全面而广泛的修订版。
除了对全书许多章节的论述（包括文字和图形）进行微调之外，我们还加入了新的
应用（包括在生物学中的应用），并在全书中利用了新的交互式计算机技术，这些技术现
在可供学生在台式机、笔记本计算机、智能手机和图形计算器等设备上使用。此外，本书
还利用了 Mathematica、Maple 和 MATLAB 等计算机代数系统，以及 Wolfram|Alpha
和 GeoGebra 等在线平台。
此版本内容有所增加，包括为 6.4 节添加了应用模块讨论 COVID-19。然而，本书
的教学目标保持不变。因此，无须修改教师笔记和教学大纲。
此版本的一个显著特点是，加入了大约 16 个新的交互式图形，这些图形说明了如
何使用带有滑动条或触摸板控件的交互式计算机应用程序来更改微分方程中的初值或
参数，使用户可以立即实时看到其解结构产生的变化。
下面对本版本中所展示的各类修订和更新进行一些说明。
新交互技术和图形 全书加入的新图形展示了现代计算技术平台为用户提供的实
时交互地改变初始条件和其他参数的便利。因此，可以使用鼠标或触摸板将初值问题的
初始点拖动到新位置，相应的解曲线会被自动重新绘制，并与其初始点一起被拖动（参
见图 1.3.5 和图 3.2.4）。使用交互式图形中的滑动条，可以改变线性方程组的系数或其
他参数，并自动显示其方向场和相平面轨线图的相应变化（参见图 5.3.21）。可以改变
方波函数的 Fourier 级数的部分和所使用的项数，由此产生的展示 Gibbs 现象的图形变
化会立即显示出来（参见图 9.1.3）。
新论述 在一些章节中，加入了新的文字和图形，以增强学生对主题的理解。例如，
V
1.3 节中对习题 1 至习题 4 的修订方法，第 1 章结尾的总结中的强化讨论，在 4.1 节结
尾指出 Katherine Johnson 的成就的历史注释，在 Lorenz 吸引子和辅助图形的呈现方
式上的许多改进，以及对全书应用模块呈现方式的改进。为了展示当前的技术，对例题
和图进行了整体更新；这包括将 Python 纳入标准编程平台。
新内容 本版以微分方程在生命科学中的新应用为特色，延续了最近的研究趋势。
除了关于神经科学的 FitzHugh-Nagumo 方程外，6.4 节之后的应用模块还包括对在流
行病学中使用微分方程的介绍，特别是目前在预测模型中广泛使用的 SIR 模型。我们解
释了使用微分方程来模拟疾病传播的早期历史，然后介绍了 SIR 模型本身及其基本原
理。作为一个案例研究，我们详细分析了一个解释再次感染可能性的相关模型。对 SIR
模型的这种变体的相分析可以在平面而非三维空间中进行，从而能够使用第 6 章前面
为非线性自治方程组开发的工具。当然，对疾病传播的建模本身就是当代人们非常感兴
趣的课题。然而，这种新的处理方法也加强了微分方程在整个科学领域的应用，而不仅
限于物理和工程等传统领域。这个新应用与全文作为一个整体具有同样细致透彻的论
述，将为学生提供另一个视角来审视微分方程。
新风格 本书的部分图为彩图，使学生能够更容易地辨别图表中的不同解。同时增
加了旁注，帮助学生理解文中的数学内容。现在可以通过习题中新的短介绍来识别应用
主题。最后，应用模块中的新标题将明确作者的论述结束于何处，以及学生的研究开始
于何处，即寻找标题“练习”即可。
计算特点
以下几个特点突出了与我们的大部分论述有很大区别的计算技术。
. 超过 750 个计算机生成的图形向学生展示了方向场、解曲线和相平面轨线图的生
动图片，这些图片使微分方程的符号解栩栩如生。
. 全书有 44 个应用模块跟随在重要的节之后。这些应用大多概述了“技术中立”研
究，说明了技术计算系统的使用，并鼓励学生积极参与新技术的应用。
. 第 2 章（关于数学模型与数值方法）中较早引入数值求解技术提供了新的数值重
点。第 2 章和第 4 章探讨了方程组的数值技术，通过以平行方式同时介绍从图形
计算器到 MATLAB 等各种系统的数值算法，使这两章的内容更加具体而生动。
建模特点
数学建模是研究微分方程的目标和持续动力。为了大致了解本书的应用范围，请看
下面的问题：
精彩书摘
C. Henry Edwards 是Georgia大学数学系荣誉教授，于1960年在Tennessee大学获得博士学位，曾在Tennessee、 Wisconsin和 Georgia三所大学从教40多年，主要讲授微积分和微分方程，其间作为斯隆研究成员曾在普林斯顿做过短暂的高等研究。他获得过很多教学奖，如1983年的佐治亚大学荣誉勋章、1991年的Josiah Meigs奖和1997年的佐治亚州董事奖。他的学术生涯从拓扑学的研究和论文指导，到数学史，再到数学教学和应用中的计算和技术。除了是微积分、高等微积分、线性代数和微分方程教科书的作者或合著者，他还是 The Historical Development of the Calculus（Springer Verlag，1979）的作者，这本书被微积分教师所熟知。20世纪90年代，他曾担任三个NSF支持项目的首席研究员，一个包括面向代数初学者的Maple的学校数学项目，一个微积分的Mathematica程序以及一个面向数值分析和微分方程学生的基于MATLAB的计算机实验室项目。2013年，他被任命为美国数学学会研究员。
试读
C. Henry Edwards 是Georgia大学数学系荣誉教授，于1960年在Tennessee大学获得博士学位，曾在Tennessee、 Wisconsin和 Georgia三所大学从教40多年，主要讲授微积分和微分方程，其间作为斯隆研究成员曾在普林斯顿做过短暂的高等研究。他获得过很多教学奖，如1983年的佐治亚大学荣誉勋章、1991年的Josiah Meigs奖和1997年的佐治亚州董事奖。他的学术生涯从拓扑学的研究和论文指导，到数学史，再到数学教学和应用中的计算和技术。除了是微积分、高等微积分、线性代数和微分方程教科书的作者或合著者，他还是 The Historical Development of the Calculus（Springer Verlag，1979）的作者，这本书被微积分教师所熟知。20世纪90年代，他曾担任三个NSF支持项目的首席研究员，一个包括面向代数初学者的Maple的学校数学项目，一个微积分的Mathematica程序以及一个面向数值分析和微分方程学生的基于MATLAB的计算机实验室项目。2013年，他被任命为美国数学学会研究员。
前言/序言
数学、力学以及物理、机械等专业的学生和教师
